雑談：ドーナッツ半分の体積計算(微分積分いい気分？)

先週に引き続き、今回も数学の話です。苦手な方はお引き取り下さい。

・　　・　　・　　・　　・

どういう訳か、ドーナッツ半分(外側を食べちゃって内側だけ残っている形)の体積を計算する必要が出てきました。積分ですよ積分。高校の時は得意だったんですケド、最近はすっかり銹びサビです(苦笑)。

• ちなみに普通のドーナッツ状の体積は、断面(円)の面積×断面(円)の中心が描く軌跡(円弧)の長さ、で求められます。今回は普通じゃないから大変なのですことよ。

ドーナッツの内側半分の形状、赤斜線は断面

手元のPCにはMathematicaとかの便利な数式処理ソフトはありませんが(お世話になったこともありますが…あんな高価なモノ私物PCには入れられません)、Mathematicaの開発元・Wolfram Researchが「Wolfram|Aplha」なる処理系をオンラインで提供しています。高度な計算をするには有料会員になる必要がありますが、簡単な計算だけなら無償で出来ます(ちょっとした数式処理とかが必要になった時などにちょくちょく使っています)。

さて、積分。ドーナツの径方向に向かってバウムクーヘンの1層1層のように、細切れにした形を考えれば良いです。

座標を設定してやり、積分してやります

図の赤い断面(厚さΔR)がぐるっと回って作られる円筒形の体積をΔVとすると、この円筒の体積はΔV=2hΔR×2πR=4πR√(r2^2-(r1+r2-R)^2)ΔR。ゆえに半分食べ残したドーナッツの体積Vは、4πR√(r2^2-(r1+r2-R)^2)を変数Rについて[r1, r1+r2]の区間で積分してやれば良い。…良いはずです。

Wolfram|Alphaに直接数式を入力して計算(r1, r2→a, bで表記)

うーん、「標準的な計算時間を超過してしまいました」と言われ、計算結果が出ません。下にある「Try again with additional computation time」をうっかりクリックすると、有料会員登録のためのページに行ってしまいます。ここは財力ではなく知力で勝負です(笑)。変数変換を行って積分しやすい形にしてやりましょう。

R-r1-r2=Sの変数変換です。積分区間は[-r2, 0]に変更です。

Wolfram|Alpha、その２！

定積分の値は合っているような、間違っているような…？ 結論から言えば、符号が違います(b=r2の区間を勘違いされているので止むを得ない間違い？なのですが)。何だかスッキリしませんね。仕方無いので、さらに変数変換。S=r2・sinθとします。θの積分区間は[-π/2, 0]になります。

Wolfram|Alpha、その３！

やっと正しい値が計算できました。…って、ここまで来たら、殆ど自分で手計算で積分したようなもんじゃね？(笑) てゆーか。このWolfram|Alpha、時々使っているんですケド、機械に美味しいトコロを持って行かれるのが少し悔しいので、大抵自分でも計算し直しています。なんだかなぁ(笑)。

Maximaとかの無償で使える数式処理ソフト、私物PCへの導入を少し真面目に考えてみようかなぁ(仕事用PCには勝手にソフトをインストールすると叱られるので、当分WEBベースのWolfram|Alphaに頼ることになりそう)。これとGnuplotを組み合わせると技術屋としても結構使える理論解析・グラフ作成ツールが手に入ることになる(GnuplotのI/Fに慣れず20年以上Ngraph派…因みに仕事用PCでは選択の余地なくMS-Excel (苦笑)。←キチンとシステム部に会社非公認ソフト導入の申請手続きをすれば多分NgraphもGnuplotもOKだと思うのですが、面倒臭いんですよね/笑)。